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Apple公式サイトがiPhone 5 バッテリー交換プログラムを公開しています。
シリアル番号を確認して該当したら無償でバッテリー交換が出来るプログラムです。

ごく一部の iPhone 5 のバッテリー駆動時間が急に短くなったり、より頻繁に充電が必要になったりする可能性があることが判明しました。対象となるのは、2012 年 9 月から 2013 年 1 月の間に販売され、シリアル番号が特定の範囲内にある iPhone 5 です。

お使いの iPhone 5 にこのような症状が見られ、下記の対象製品に該当する場合は、iPhone 5 のバッテリーを無償で交換させていただきます。

ということです。
iPhone5をお持ちの方は、下記でシリアルを調べて下記アドレスにGO!

https://ssl.apple.com/jp/support/iphone5-battery/

シリアル確認方法

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source: Apple